기댓값 (Expectation)

기댓값(expectation, expected value) E[X]는 확률 변수 X가 가질 수 있는 값들을 각각이 나올 확률로 가중 평균한 값입니다. 이산 확률 변수는 E[X] = Σ x·P(X = x), 연속 확률 변수는 E[X] = ∫ x f(x) dx로 정의합니다. 같은 시행을 많이 반복했을 때 '평균적으로' 얻게 되는 값을 나타냅니다. (일상어 '기대'가 아니라 수학 용어로는 '기댓값'이 맞습니다.)

자세히 알아보기

기댓값은 실험을 해서 얻는 표본 평균과 구별해야 합니다. 표본 평균은 데이터에서 계산한 값이고, 기댓값은 분포가 정하는 이론값입니다. 큰 수의 법칙에 따르면 독립 시행을 계속 반복하면 표본 평균은 기댓값으로 수렴합니다. 그래서 표본 평균은 기댓값의 추정치로 쓰입니다.

중요한 성질은 선형성입니다. E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]는 X, Y가 독립이 아니어도 항상 성립합니다. 반면 곱 E[XY] = E[X]E[Y]는 X, Y가 무상관일 때(특히 독립일 때)만 성립합니다. 기댓값은 실제로 나올 수 없는 값일 수도 있습니다. 주사위의 기댓값 3.5가 그 예입니다. 또 기댓값이 같아도 분산(퍼짐)은 크게 다를 수 있어, 위험을 판단할 때는 둘을 함께 봐야 합니다.

블록체인·암호화폐에서는

• 작업 증명 채굴: 비트코인에서 한 블록을 찾는 데 필요한 해시 시도 횟수의 기댓값은 대략 난이도 × 2³²입니다. 채굴자의 기대 수익은 (자신의 해시레이트 / 전체 해시레이트) × 블록 보상으로 계산하지만, 실제 수익은 분산이 커서 풀에 참여합니다.
• 무차별 대입 비용: k비트 키를 무작위로 찾을 때 성공까지 필요한 시도 횟수의 기댓값은 약 2^k−1입니다. 128비트 키라면 약 2¹²⁷번입니다.
• 생일 공격: N가지 해시값에서 첫 충돌이 나올 때까지 필요한 시도 횟수의 기댓값은 약 √(πN/2)입니다.
• 디파이·거래: 청산 위험, 옵션 가치, 차익거래 전략은 기댓값으로 평가하지만, 기댓값이 양수라도 꼬리 위험이 크면 파산할 수 있습니다.

쉽게 말하면

기댓값은 '아주 많이 반복했을 때 한 번에 평균적으로 얻는 몫'입니다. 한 번의 결과를 약속하지는 않습니다.

예시

공정한 주사위 눈의 기댓값은 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 3.5입니다. 동전을 1,000번 던지면 앞면 수의 기댓값은 500이지만, 실제 결과는 대개 470~530 사이에서 흔들립니다.