베르누이 시행 (Bernoulli Trials)

베르누이 시행(Bernoulli trial)은 통계에서 정확히 두 가지 결과(일반적으로 “성공”과 “실패”)만 가능한 관측 또는 복원 추출을 말합니다. 성공을 1, 실패를 0으로 나타낸 확률변수 X에 대해 P(X=1)=p, P(X=0)=1−p이며, 이 분포를 베르누이 분포라고 합니다.

핵심 조건

• 두 가지 결과: 각 시행의 결과는 성공 또는 실패 둘 중 하나입니다.
• 독립성: 각 시행은 독립적이며, 이전 결과가 다음 결과에 영향을 미치지 않습니다.
• 일정한 확률: 성공 확률 p는 모든 시행에서 동일하게 유지됩니다.

베르누이 확률변수의 기댓값은 E[X]=p, 분산은 Var(X)=p(1−p)입니다. 공정한 동전 던지기는 p=1/2인 전형적인 베르누이 시행이며, 웹사이트 방문자의 광고 클릭 여부나 농구 자유투의 성공 여부도 같은 틀로 모형화할 수 있습니다. 다만 실제 현상은 확률이 일정하지 않거나 시행끼리 독립이 아닌 경우가 많아, 이 모형은 근사로만 쓰입니다.

이항 분포와의 관계

베르누이 시행을 n번 독립적으로 반복했을 때 성공 횟수 K는 이항 분포를 따르며, P(K=k)=C(n,k)·p^k(1−p)^n−k입니다. 예를 들어 공정한 동전을 5번 던져 앞면이 최소 3번 나올 확률은 (C(5,3)+C(5,4)+C(5,5))/2⁵ = 16/32 = 1/2입니다. 처음 성공할 때까지의 시행 횟수는 기하 분포를 따릅니다.

암호학에서의 응용

• 암호화 해시 함수: 충돌 저항성을 평가할 때 각 시도에서 동일한 해시 출력을 생성하는 두 입력을 찾는 것을 “성공”으로 보는 베르누이 시행으로 모형화할 수 있습니다.
• 작업 증명: 채굴에서 해시를 한 번 계산하는 것은 결과가 목표값 이하이면 성공인 베르누이 시행으로 볼 수 있습니다. 성공 확률은 대략 목표값/2²⁵⁶이며, 블록을 찾기까지의 시도 횟수는 기하 분포를 따릅니다.
• 난수 생성: 생성된 각 비트를 p=1/2인 베르누이 시행으로 보고, 1의 비율이나 연속 구간 길이가 이론 분포와 맞는지 검정해 무작위성을 평가합니다.