분산 (Variance)

분산은 데이터 또는 확률 변수의 값이 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 통계량입니다. 확률 변수 X에 대해 Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ²로 정의되며, 분산의 제곱근이 표준편차 σ입니다.

자세히 알아보기

평균과의 차이(편차)를 그냥 더하면 양수와 음수가 상쇄되어 항상 0이 되므로, 편차를 제곱해서 더합니다. 제곱을 하므로 큰 편차가 더 크게 반영되고, 단위도 원래 단위의 제곱이 됩니다. 그래서 해석할 때는 원래 단위와 같은 표준편차를 많이 씁니다.

모집단 전체를 알 때는 편차 제곱합을 n으로 나누고, 표본으로 모집단 분산을 추정할 때는 n − 1로 나눕니다(베셀 보정). 표본 평균을 이미 데이터에서 계산했기 때문에 자유도가 하나 줄어들기 때문입니다.

유용한 성질로 Var(aX + b) = a²Var(X), 그리고 독립인 X, Y에 대해 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)가 있습니다. 독립 시행 n번의 평균은 분산이 σ²/n으로 줄어드는데, 많이 측정하고 평균내면 잡음이 줄어드는 이유입니다.

블록체인·암호화폐에서는

• 변동성: 암호화폐의 '변동성'은 보통 일정 기간 로그 수익률의 표준편차(분산의 제곱근)로 계산하고 연 단위로 환산합니다. 비트코인 변동성이 주식보다 높다는 말은 수익률 분산이 크다는 뜻입니다. 스테이블코인은 반대로 페그 가격 주변 분산이 매우 작아야 정상입니다.
• 채굴과 블록 시간: 작업 증명에서 블록 발견 간격은 평균뿐 아니라 분산도 커서, 비트코인 평균 블록 시간은 약 10분이지만 실제 간격은 몇 초에서 한 시간 이상까지 흩어집니다. 소규모 채굴자가 채굴 풀에 참여하는 이유도 보상의 분산을 줄이기 위해서입니다.
• 부채널 공격: 하드웨어 지갑을 겨냥한 전력 분석에서 공격자는 수많은 측정을 평균내어 잡음 분산을 σ²/n으로 줄입니다. 신호 분산과 잡음 분산의 비(SNR)가 공격 난이도를 결정합니다.

쉽게 말하면

분산은 '값들이 평균에서 평균적으로 얼마나 멀리 떨어져 있는가'를 제곱 단위로 잰 것입니다. 클수록 들쭉날쭉합니다.

예시

데이터 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9의 평균은 5, 편차 제곱합은 32입니다. 모집단 분산은 32/8 = 4(표준편차 2), 표본 분산은 32/7 ≈ 4.57입니다.

같은 평균 5를 가진 데이터 4, 5, 6은 모집단 분산이 2/3에 불과합니다. 평균만으로는 두 데이터의 차이를 알 수 없으며, 위험을 볼 때 평균 수익률과 함께 분산을 확인해야 하는 이유입니다.