수학적 암호학 (Mathematical Cryptography)

수학적 암호학(Mathematical Cryptography)은 두 소수의 곱을 모듈러스로 하여, 매우 큰 값을 매우 큰 거듭제곱으로 취하는 것과 같은 수학적 연산을 기반으로 하는 암호화입니다. 일반적으로 정수론과 밀접하게 관련되어 있습니다. 치환표나 결합기 같은 구성 요소를 조합해 만드는 기계론적(구조적) 암호와 대조되는 개념입니다.

실제 세계의 비유:

대표적인 예인 RSA의 암호화 과정을 단순화하면 다음과 같습니다.

• 비밀 숫자(메시지)가 있습니다.
• 이 숫자를 큰 지수(공개 지수)로 거듭제곱합니다.
• 그런 다음, 두 개의 소수를 곱하여 형성된 매우 큰 숫자로 결과를 나눕니다. 나머지를 유지합니다.
• 이 나머지가 “잠긴 메시지”입니다.

잠금을 해제하려면 개인 지수가 필요하며, 이 값은 두 소수를 알아야 계산할 수 있습니다. 공개된 곱만으로 두 소수를 찾는 소인수분해는 관련된 숫자가 충분히 크면 강력한 컴퓨터로도 현실적인 시간 안에 풀기 어렵습니다. RSA는 수학적 암호학의 한 예일 뿐이며, 같은 원리로 다른 어려운 수학 문제를 이용하는 방식도 있습니다.

정수론의 역할:

수의 성질을 연구하는 정수론은 이 과정에서 큰 역할을 합니다. 숫자 간의 관계를 이해하고, 한 방향(잠금)으로 수행하기는 쉽지만 반대 방향(키 없이 잠금 해제)으로 되돌리기는 엄청나게 어려운 이러한 어려운 수학 문제를 만드는 데 도움이 됩니다.

• 소인수분해 문제: 큰 합성수를 두 소수로 분해하기 어렵다는 점에 기반합니다(RSA).
• 이산 로그 문제: 거듭제곱의 결과로부터 지수를 되찾기 어렵다는 점에 기반합니다(디피-헬만 키 교환 등).
• 타원 곡선 이산 로그 문제: 타원 곡선 위의 점 연산에서 같은 성질을 이용합니다. 비트코인과 이더리움의 디지털 서명(secp256k1 곡선의 ECDSA, 비트코인의 슈노르 서명 등)은 RSA가 아니라 이 타원 곡선 암호를 사용합니다.

기계론적 암호와의 대조:

여기서 대조되는 기계론적 암호(mechanistic cryptography)는 물리적 기계를 뜻하는 말이 아닙니다. 치환표, 순열, 결합기, 혼합 연산 같은 구성 요소를 조합해 암호를 설계하는 방식을 가리킵니다. 많은 블록 암호와 스트림 암호가 이렇게 만들어지며, 그 안전성은 정수론의 특정 난제보다는 구성 요소의 설계와 분석(선형·차분 암호 분석에 대한 저항성 등)에 근거합니다.

• 수학적 암호학: 소인수분해, 이산 로그처럼 명확히 정의된 수학 문제의 어려움에 안전성을 둡니다. 주로 공개키 암호와 디지털 서명에 쓰입니다.
• 기계론적 암호: 치환표와 결합기 등 구조의 조합에 안전성을 둡니다. 주로 대칭키 암호에 쓰입니다.

장점

• 강력한 보안: 수학적 암호화는 상당한 컴퓨팅 성능을 사용하더라도 기본 수학 문제를 깨는 것이 어렵기 때문에 강력한 보안을 제공합니다.
• 다재다능함: 키 교환, 디지털 서명 및 암호화 알고리즘을 포함한 다양한 암호화 응용 프로그램의 기초가 됩니다.
• 조정 가능한 보안 수준: 키 길이를 늘려 보안 수준을 높일 수 있습니다.

단점

• 계산 집약성: 이러한 복잡한 계산을 수행하는 것은 리소스를 많이 사용할 수 있으며, 특히 처리 능력이 제한된 시스템의 속도를 늦출 수 있습니다. 그래서 대량의 데이터는 보통 대칭키 암호로 암호화하고, 수학적 암호는 키 교환과 서명에 씁니다.
• 이론적 취약성: 정수론의 발전이나 양자 컴퓨터의 개발은 일부 수학적 암호화 방법의 보안을 잠재적으로 훼손할 수 있습니다. 컴퓨터 성능 향상과 양자 컴퓨터 연구에 따라 알고리즘과 키 길이를 계속 갱신해야 합니다.

사용 분야

수학적 암호화는 많은 현대 보안 시스템의 기반입니다. 디지털 세계 곳곳에서 쓰입니다.

• 전자 상거래: 웹 접속의 키 교환과 인증서 서명으로 온라인 거래와 금융 데이터를 보호합니다.
• 데이터 보호: 무단 액세스를 방지하기 위해 기밀 정보를 암호화할 키를 안전하게 주고받는 데 쓰입니다.
• 암호화폐: 트랜잭션 서명과 주소 생성에 타원 곡선 암호를 사용해, 개인키 소유자만 자산을 옮길 수 있게 합니다.