독립성 (Independent)

두 사건 A와 B가 독립(Independent)이라는 것은 한 사건이 일어났는지 여부가 다른 사건이 일어날 확률을 전혀 바꾸지 않는다는 뜻입니다. 수식으로는 P(A∩B) = P(A)·P(B)가 성립하는 경우입니다. 확률 변수의 독립도 같은 방식으로 정의되며, 암호 분석과 난수 품질 평가의 기본 가정입니다.

자세히 알아보기

동전을 두 번 던질 때 첫 결과는 두 번째 결과에 영향을 주지 않으므로 두 사건은 독립입니다. 반면 카드 한 장을 뽑고 되돌려 놓지 않으면 두 번째 뽑기의 확률이 바뀌므로 독립이 아닙니다. 여러 사건을 다룰 때는 "둘씩 독립(pairwise)"과 "서로 완전히 독립(mutual)"을 구분해야 합니다. 어느 두 개를 골라도 독립이지만 셋을 함께 보면 독립이 아닌 경우가 있기 때문입니다.

단순한 상황에서는 원리로부터 독립성을 주장하거나 실험으로 확인할 수 있지만, 복잡한 시스템에서는 겉보기에 무관한 요인이 숨은 상관관계를 가질 수 있습니다. 상관계수가 0이라고 해서 독립이라는 보장은 없다는 점도 중요합니다. 독립이면 상관이 0이지만, 그 역은 성립하지 않습니다.

조건부 확률로 쓰면 독립은 P(A|B) = P(A)입니다. 즉 B가 일어났다는 정보를 알아도 A의 확률 예측이 바뀌지 않는다는 뜻입니다. 확률 변수 X와 Y가 독립이면 결합 분포가 각 분포의 곱으로 분해되고, 분산은 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)처럼 단순히 더해집니다.

블록체인·암호화폐에서는

암호에서는 독립성이 안전성의 핵심 전제입니다. 일회용 패드(OTP)가 완전한 비밀성을 가지려면 키 비트가 서로 독립이고 균등해야 합니다. 난수 생성기는 출력 비트가 앞선 출력과 독립인 것처럼 보여야 하며, 카이제곱 검정 같은 통계 검정으로 이를 확인합니다. ECDSA 서명의 비밀 난수가 서로 독립이 아니고 반복되거나 예측 가능하면 개인 키가 계산될 수 있습니다. 반대로 암호 분석가는 암호문과 평문(또는 키) 사이에서 독립이 깨지는 지점, 즉 미세한 통계적 편향을 찾는 것이 일입니다.

블록체인 쪽에서도 독립성 가정이 자주 등장합니다. 채굴에서 각 해시 시도는 서로 독립인 시행으로 모델링되므로, 블록 발견은 "기억이 없는" 과정이 되어 블록 간격이 지수 분포를 따른다고 봅니다. 그래서 이미 오래 기다렸다고 해서 다음 블록이 더 빨리 나오지는 않습니다.

쉽게 말하면

독립이란 "어제 동전이 앞면이었다는 사실이 오늘 동전에 아무 영향도 주지 않는 것"입니다.

예시

공정한 주사위를 두 번 던질 때 "첫 번째가 6"(1/6)과 "두 번째가 6"(1/6)은 독립이므로, 둘 다 6일 확률은 1/6 × 1/6 = 1/36입니다.