타원곡선 (Elliptic Curve)

타원곡선은 y² = x³ + ax + b 형태의 방정식을 만족하는 점들의 집합으로, 유한체 위에서 정의하면 점 덧셈 연산이 군(group)을 이루어 공개 키 암호와 전자서명의 수학적 토대가 됩니다. 이름과 달리 타원과는 모양이 다르며, 타원의 둘레를 계산하는 적분에서 유래한 역사적 명칭입니다.

자세히 알아보기

암호학에서 쓰는 타원곡선은 실수 평면이 아니라 소수 p를 법으로 하는 유한체 𝔽ₚ 위에서 정의됩니다. 곡선이 특이점을 갖지 않으려면 판별 조건 4a³ + 27b² ≠ 0을 만족해야 합니다. 곡선 위의 두 점 P, Q를 지나는 직선이 곡선과 만나는 세 번째 점을 x축에 대해 뒤집은 것을 P + Q로 정의하면, 이 덧셈은 결합법칙을 만족하고 '무한원점'이 항등원 역할을 합니다. 즉 곡선의 점들은 덧셈에 대한 군이 됩니다.

같은 점을 k번 더하는 연산 Q = kP를 스칼라 곱이라고 합니다. k와 P를 알면 Q는 빠르게 계산할 수 있지만, P와 Q만 보고 k를 찾는 것은 잘 고른 곡선에서 현실적으로 불가능합니다. 이것이 타원곡선 이산 로그 문제(ECDLP)이며, 개인 키 = k, 공개 키 = Q라는 구조의 안전성 근거입니다.

방정식 형태는 위의 바이어슈트라스(Weierstrass) 형식 외에도 몽고메리(Montgomery) 형식, (트위스티드) 에드워즈(Edwards) 형식 등이 있습니다. 형식에 따라 연산 속도와 구현 안전성(예: 예외 없는 덧셈 공식)이 달라서, Curve25519는 몽고메리 형식, Ed25519는 에드워즈 형식을 사용합니다. 암호학적 활용은 1985년 닐 코블리츠(Neal Koblitz)와 빅터 밀러(Victor Miller)가 각각 독립적으로 제안했습니다.

어떤 곡선이든 안전한 것은 아닙니다. 군의 위수(점의 개수)에 큰 소인수가 있어야 하고, 이상 곡선(anomalous curve)이나 페어링으로 쉽게 옮겨지는 곡선처럼 알려진 약점이 있는 곡선은 피해야 합니다. 그래서 실무에서는 SEC 2, NIST SP 800-186, RFC 7748 등 표준에 정의된 곡선을 사용합니다.

블록체인·암호화폐에서는

Bitcoin, Ethereum, Tron은 모두 secp256k1 곡선(y² = x³ + 7)을 사용합니다. 지갑의 개인 키는 1과 곡선 위수 n 사이의 정수이고, 공개 키는 기준점 G에 개인 키를 스칼라 곱한 점이며, 주소는 이 공개 키를 해시해 만듭니다. USDT를 보내는 트랜잭션의 서명도 이 곡선 위의 ECDSA로 생성됩니다. Solana, Cardano 등은 edwards25519 곡선을 쓰고, Ethereum의 지분 증명 합의는 페어링 친화 곡선 BLS12-381을 사용합니다.

쉽게 말하면

정해진 규칙대로 점을 계속 '더해' 나가는 놀이판과 같습니다. 몇 번 더했는지 알면 도착점은 금방 찾지만, 도착점만 보고 몇 번 더했는지 거꾸로 알아내기는 사실상 불가능합니다.

예시

secp256k1은 a = 0, b = 7, p = 2²⁵⁶ − 2³² − 977인 곡선입니다. 개인 키 k가 256비트 정수일 때 공개 키 Q = k·G는 (x, y) 좌표 한 쌍으로, 압축 형식에서는 33바이트로 표현됩니다.