항등원 (Identity Element)

항등원(identity element)은 집합 위의 이항 연산에서, 어떤 원소와 연산해도 그 원소를 바꾸지 않는 특별한 원소입니다. 집합 S와 연산 ∗에 대해 모든 a에 대해 e ∗ a = a ∗ e = a를 만족하는 원소 e가 항등원입니다. 이 개념은 군이나 환과 같은 대수적 구조에서 사용됩니다. 중립원(중립 원소)이라고도 합니다.

기본 예

덧셈의 항등원은 영(0)입니다. 어떤 수에 0을 더해도 값이 변하지 않기 때문입니다(예: 5 + 0 = 5). 곱셈의 항등원은 일(1)입니다. 어떤 수에 1을 곱해도 값이 그대로입니다(예: 7 × 1 = 7). 이처럼 항등원은 특정 연산과 관련해 정의되며, 같은 집합이라도 연산이 달라지면 항등원도 달라집니다.

주요 성질

• 중립성: 항등원은 연산에 사용될 때 다른 원소를 바꾸지 않습니다.
• 유일성: 어떤 연산에 항등원이 존재한다면 오직 하나뿐입니다. e와 e′이 모두 항등원이면 e = e ∗ e′ = e′이기 때문입니다.
• 왼쪽·오른쪽 항등원: 교환법칙이 성립하지 않는 연산에서는 e ∗ a = a만 성립하는 왼쪽 항등원과 a ∗ e = a만 성립하는 오른쪽 항등원을 구분합니다. 행렬 곱셈의 항등원은 단위행렬 I이고, 함수 합성의 항등원은 입력을 그대로 돌려주는 항등 함수입니다.
• 항상 존재하는 것은 아님: 모든 집합과 연산이 항등원을 갖지는 않습니다. 예를 들어 양의 정수 집합의 덧셈에는 항등원이 없습니다.
• 역원의 기준: 원소 a의 역원은 a와 연산했을 때 항등원이 되는 원소로 정의됩니다. 따라서 항등원이 없으면 역원도 정의할 수 없습니다.

대수적 구조에서의 역할

군은 정의의 일부로 이항 연산에 대한 항등원을 가져야 합니다. 이 중립원이 없으면 역원을 정의할 수 없고, 군의 여러 성질이 성립하지 않습니다. 환에서는 덧셈의 항등원 0이 반드시 있고, 곱셈의 항등원 1이 있는 환을 단위원을 갖는 환이라고 합니다.

암호학에서의 항등원

• 타원 곡선 군: 타원 곡선 위의 점들은 점 덧셈에 대해 군을 이루며, 이 군의 항등원은 무한원점(point at infinity, 흔히 O로 표기)입니다. 어떤 점 P에 대해서도 P + O = P이고, P와 그 대칭점 −P를 더하면 O가 됩니다. 비트코인과 이더리움의 서명에 쓰이는 secp256k1도 이 구조를 사용합니다.
• 정수의 나머지 군: n을 법으로 하는 정수의 덧셈 군 Z_n에서는 0이, n과 서로소인 수들의 곱셈 군 Z_n^*에서는 1이 항등원입니다. RSA와 디피-헬먼 키 교환은 이런 곱셈 군의 성질을 이용합니다.

결론적으로, 항등원은 대수적 구조를 정의하는 데 쓰이는 기본 개념이며, 그 역할을 이해하면 군·환 같은 더 복잡한 구조와 이를 바탕으로 한 암호 알고리즘을 공부하는 데 도움이 됩니다.