가우시안 (Gaussian)

가우시안(Gaussian)은 보통 가우스 분포, 즉 정규분포(normal distribution)를 가리킵니다. 평균 μ를 중심으로 좌우 대칭인 종 모양 곡선의 연속 확률 분포로, 밀도는 f(x) = (1/(σ√(2π)))·e^−(x−μ²/(2σ²))이며 평균 μ와 분산 σ² 두 값만으로 완전히 결정됩니다. N(μ, σ²)으로 표기합니다. 수학자 카를 프리드리히 가우스의 이름을 땄습니다.

자세히 알아보기

정규분포가 자연과 측정 데이터에 흔히 나타나는 이유는 중심 극한 정리 때문입니다. 독립적인 작은 요인이 많이 더해지면, 각 요인의 분포와 상관없이 합은 정규분포에 가까워집니다. 측정 오차, 전자 회로의 열잡음 등이 대표적입니다.

경험 법칙으로 값의 약 68%는 μ ± σ, 약 95%는 μ ± 2σ, 약 99.7%는 μ ± 3σ 안에 들어갑니다. 정규분포의 꼬리는 매우 빠르게 얇아져 6σ를 넘는 사건은 10억 번에 두 번 정도입니다.

모든 데이터가 정규분포를 따르는 것은 아닙니다. 소득, 거래 규모, 금융 수익률처럼 극단값이 자주 나오는 '두꺼운 꼬리' 데이터에 정규분포를 가정하면 위험을 크게 과소평가합니다.

블록체인·암호화폐에서는

• 양자 내성 암호: 격자 기반 암호는 비밀과 오류 값을 정수 위의 '이산 가우스 분포'에서 뽑습니다. Falcon 서명은 이산 가우스 표본 추출을 핵심으로 사용하며, ML-KEM(FIPS 203)은 구현하기 쉬운 중심 이항 분포로 가우스 분포를 근사합니다. 블록체인의 양자 내성 전환 논의에서 이 표본 추출을 상수 시간으로 안전하게 구현하는 것이 중요한 과제입니다.
• 부채널 분석: 하드웨어 지갑의 전력 측정 잡음은 보통 가우스 분포로 모델링되며, 템플릿 공격은 측정값을 다변량 정규분포로 보고 키 후보의 가능도를 계산합니다.
• 시장 데이터: 암호화폐 수익률은 정규분포보다 꼬리가 훨씬 두꺼워, 정규분포 가정으로는 '거의 일어나지 않을' 하루 20~30% 급락이 실제로 여러 번 관찰되었습니다. VaR 같은 위험 지표를 정규분포로만 계산하면 위험합니다.

쉽게 말하면

가우시안은 '대부분은 평균 근처에 모이고, 멀어질수록 급격히 드물어지는' 종 모양 분포입니다.

예시

성인 키가 평균 170cm, 표준편차 6cm인 정규분포라면 약 95%의 사람이 158~182cm 사이에 있습니다.

같은 분포에서 약 99.7%는 152~188cm 사이에 들어가며, 194cm를 넘는 사람(평균보다 4σ 이상)은 약 0.003%로 매우 드물게 예측됩니다.