공분산 (Covariance)

공분산은 두 확률 변수 X와 Y가 각자의 평균에서 벗어날 때 같은 방향으로 움직이는 경향이 있는지(양수), 반대 방향인지(음수), 뚜렷한 선형 경향이 없는지(0에 가까움)를 나타내는 값입니다. 정의는 Cov(X,Y) = E[(X−μ_X)(Y−μ_Y)] = E[XY] − E[X]E[Y]입니다.

자세히 알아보기

공분산의 부호는 방향을 알려 주지만 크기는 단위에 따라 달라집니다. 가격을 원 단위로 재느냐 달러 단위로 재느냐에 따라 값이 바뀌기 때문에, 관계의 '강도'를 비교하려면 각 표준편차로 나눈 상관계수 ρ = Cov(X,Y)/(σ_X σ_Y)를 씁니다.

중요한 성질은 다음과 같습니다.

• X와 Y가 독립이면 공분산은 0입니다. 그러나 역은 성립하지 않습니다. Y = X²(X가 −1, 0, 1 중 균등)처럼 완전히 종속인데도 공분산이 0인 경우가 있습니다. 공분산은 선형 관계만 잡아냅니다.
• 코시-슈바르츠 부등식에 의해 Cov(X,Y)² ≤ Var(X)·Var(Y)이며, 등호는 Y가 X의 일차식(Y = aX + b)일 때만 성립합니다.
• Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y). 포트폴리오 위험 계산의 기본 공식입니다.

표본에서는 표본 공분산 s_XY = Σ(x_i − x̄)(y_i − ȳ)/(n−1)을 사용합니다. 여러 변수의 공분산을 모은 행렬을 공분산 행렬이라 하며, 다변량 정규분포와 주성분 분석의 핵심 재료입니다.

블록체인·암호화폐에서는

• 시장 분석: 비트코인과 이더리움 일간 수익률의 공분산은 대체로 양수입니다. 여러 코인을 담은 포트폴리오의 분산은 각 자산 비중 w와 공분산 행렬 Σ로 wᵀΣw처럼 계산하며, 공분산이 큰 자산끼리는 분산 투자 효과가 작습니다.
• 부채널 분석: 전력·전자파 신호로 키를 추출하는 템플릿 공격은 측정 신호를 다변량 정규분포로 모델링하고, 그 공분산 행렬로 키 후보별 확률을 계산합니다. 하드웨어 지갑이 이런 공격에 대응하도록 설계되는 이유입니다.
• 난수 검증: 좋은 난수 생성기 출력은 서로 다른 위치 사이의 공분산이 0에 가까워야 합니다.

쉽게 말하면

공분산은 '두 값이 같이 오르고 같이 내리는 경향'을 숫자로 나타낸 것입니다. 단, 얼마나 강하게 묶였는지는 상관계수로 봐야 합니다.

예시

X = (1, 2, 3), Y = (2, 4, 6)이면 x̄ = 2, ȳ = 4이고 표본 공분산은 [(−1)(−2) + 0 + (1)(2)]/2 = 2입니다. Y가 X의 정확한 일차식이므로 상관계수는 1입니다.