누적 분포 함수 (Cumulative Distribution Function, CDF)

누적 분포 함수(cumulative distribution function, CDF) F(x)는 확률 변수 X가 어떤 값 x 이하일 확률, 즉 F(x) = P(X ≤ x)를 나타내는 함수입니다. 이산 분포든 연속 분포든 하나의 방식으로 분포 전체를 기술할 수 있어 통계의 기본 도구입니다. 데이터에서 '특정 값까지 누적된 빈도의 비율'을 보는 누적 빈도표와 같은 개념입니다.

자세히 알아보기

CDF는 다음 성질을 가집니다. x가 커질수록 감소하지 않고(단조 증가), x → −∞에서 0, x → +∞에서 1로 가며, 오른쪽 연속입니다. 구간 확률은 P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)로 바로 계산됩니다. 연속 분포에서는 CDF를 미분하면 확률 밀도 함수(PDF)가 되고, 이산 분포에서는 각 값에서 계단처럼 뛰어오릅니다.

CDF의 역함수(분위수 함수) F⁻¹를 이용하면 중앙값(F⁻¹(0.5)), 사분위수 같은 분위수를 구할 수 있고, 균등 난수 u를 F⁻¹(u)에 넣어 원하는 분포의 난수를 만드는 역변환 표집도 할 수 있습니다.

데이터로부터 만든 경험적 CDF는 '관측값 중 x 이하인 비율'입니다. 콜모고로프-스미르노프 검정은 경험적 CDF와 이론 CDF 사이의 최대 차이로 적합도를 판단합니다.

블록체인·암호화폐에서는

• 난수 검정의 p-값: NIST SP 800-22의 각 검정은 통계량을 계산한 뒤 해당 분포(정규, 카이제곱 등)의 CDF로 p-값을 구합니다. p-값 자체도 무작위 데이터라면 [0, 1]에서 균등하게 분포해야 하므로, 많은 p-값이 [0, 1]의 구간들에 고르게 퍼져 있는지도(구간별 카이제곱 검정) 확인합니다.
• 격자 암호의 표본 추출: 양자 내성 서명 Falcon은 이산 가우스 표본을 뽑을 때 누적 분포표(CDT)를 미리 만들어 두고 균등 난수와 비교하는 방식을 씁니다. 이때 비교를 상수 시간으로 하지 않으면 부채널로 비밀이 샐 수 있습니다.
• 시장 위험: 수익률 분포의 CDF에서 하위 1%·5% 지점이 VaR(위험가치)입니다. 암호화폐 수익률은 꼬리가 두꺼워 정규분포 CDF로 계산한 값이 실제 위험을 과소평가하기 쉽습니다.

쉽게 말하면

CDF는 '여기까지 오는 데 전체의 몇 퍼센트가 이미 지나갔는가'를 알려 주는 누적 진행률 그래프입니다.

예시

공정한 주사위에서 F(2) = 2/6, F(4) = 4/6이므로 P(2 < X ≤ 4) = 2/6입니다. 표준정규분포에서는 F(1.96) ≈ 0.975입니다.