푸리에 급수 (Fourier Series)

푸리에 급수(Fourier series)는 주기가 T인 함수 f(t)를 기본 주파수의 정수배 주파수를 가진 사인·코사인 함수들의 합으로 전개한 것입니다. f(t) = a₀/2 + Σ [a_k cos(2πkt/T) + b_k sin(2πkt/T)] 형태이며, 복소수로는 f(t) = Σ c_k e^2πikt/T로 간단히 씁니다. 복잡한 주기 신호를 '어떤 주파수가 얼마만큼 들어 있는가'로 분해하는 도구입니다.

자세히 알아보기

계수를 구하는 열쇠는 직교성입니다. 한 주기에 걸쳐 서로 다른 주파수의 사인·코사인을 곱해 적분하면 0이 되고, 같은 주파수끼리만 0이 아닌 값이 남습니다. 그래서 f에 cos(2πkt/T)를 곱해 적분하면 다른 성분은 모두 사라지고 a_k만 남습니다. 즉 a_k = (2/T)∫ f(t) cos(2πkt/T) dt입니다. 이는 벡터를 직교 좌표축에 사영해 성분을 구하는 것과 같은 원리입니다.

충분히 매끄러운 함수는 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴합니다. 불연속점이 있으면 그 점에서 좌우 극한의 평균으로 수렴하고, 근처에서 불연속 폭의 약 9%에 해당하는 오버슈트가 남는 깁스 현상이 나타납니다. 푸리에 급수를 비주기 함수로 확장한 것이 푸리에 변환이고, 샘플링된 유한 데이터에 적용한 것이 이산 푸리에 변환(DFT)이며, 이를 빠르게 계산하는 방법이 FFT입니다.

블록체인·암호화폐에서는

푸리에 급수 자체가 블록체인 프로토콜에 직접 쓰이지는 않지만, 그 직계 후손들은 핵심 도구입니다. '직교 기저로 분해한다'는 같은 아이디어를 유한체 위로 옮긴 수론 변환(NTT)이 영지식 증명 증명기와 양자 내성 암호(ML-KEM, ML-DSA)의 다항식 곱셈을 담당합니다. 불 함수 분석에서는 ±1 값의 직교 기저인 월시 함수로 함수를 전개하는데, 이것이 비선형도와 선형 암호 분석의 기초인 월시-하다마드 변환입니다. 또 시장 데이터에서 주기적 패턴을 찾는 스펙트럼 분석에도 쓰이지만, 가격에 안정적인 주기가 있다는 가정은 대개 성립하지 않습니다.

쉽게 말하면

푸리에 급수는 복잡한 반복 소리를 '도, 미, 솔이 각각 얼마나 섞였는지'로 바꿔 적는 악보입니다.

예시

주기 2π의 사각파(−π~0에서 −1, 0~π에서 1)는 (4/π)[sin t + sin 3t/3 + sin 5t/5 + …]로 홀수 주파수 사인만으로 전개됩니다.

이 급수를 처음 몇 항에서 끊으면 사각파의 모서리 근처에 점프 크기(2)의 약 9%만큼 튀어나온 부분(오버슈트)이 남는데, 이것이 깁스 현상입니다. 항을 늘려도 오버슈트의 높이는 줄지 않고 폭만 좁아집니다.