# mod 2 다항식 (Mod 2 Polynomial)

mod 2 다항식은 계수가 0 또는 1뿐이고 계수끼리의 계산을 2로 나눈 나머지로 하는 다항식입니다. 이런 다항식 전체는 다항식환 GF(2)[x]를 이룹니다. 비트열을 다항식의 계수로 보면(예: 1011 ↔ x³ + x + 1), 비트 연산과 다항식 대수를 같은 것으로 다룰 수 있습니다.

## 자세히 알아보기

덧셈과 뺄셈은 같은 연산이며, 각 자리 계수를 올림(carry) 없이 따로 더하므로 비트별 XOR와 같습니다. 곱셈은 보통의 다항식 곱셈을 하되 계수를 XOR로 합칩니다(무올림 곱셈). 나눗셈은 정수처럼 몫과 나머지가 생기며 나누어떨어지지 않을 수 있으므로, GF(2)[x]는 체가 아니라 환입니다.

정수의 소수에 해당하는 것이 기약 다항식입니다. 차수 n인 기약 다항식 P(x)로 나눈 나머지들의 집합은 2^n개의 원소를 가진 유한체 GF(2^n)이 됩니다. 기약 다항식 중에서도 x가 곱셈군 전체를 생성하는 것을 원시 다항식이라 하며, 이를 귀환 다항식으로 쓰는 LFSR은 최대 주기 2^n − 1을 가집니다.

재미있는 성질로, mod 2에서는 (a + b)² = a² + b²이므로 다항식의 제곱은 각 계수 사이에 0을 끼워 넣는 것과 같습니다. 예를 들어 (x + 1)² = x² + 1입니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

- CRC와 오류 검출: CRC-32는 데이터를 mod 2 다항식으로 보고 생성 다항식으로 나눈 나머지를 체크값으로 씁니다. 다만 CRC는 선형이어서 의도적 변조를 막지 못하므로, 무결성 보호에는 해시나 MAC을 써야 합니다.
- 비트코인 주소 체크섬: Bech32·Bech32m 주소(bc1…)의 체크섬은 GF(32) 위의 BCH 부호로, mod 2 다항식 대수를 확장한 구조입니다. 4글자 이하의 오류는 반드시 감지하도록 설계되었습니다.
- AES와 GCM: AES의 바이트 곱셈은 x^8 + x^4 + x^3 + x + 1을 법으로 하는 GF(2^8) 연산이고, AES-GCM의 GHASH는 x^128 + x^7 + x^2 + x + 1을 법으로 하는 GF(2^128) 곱셈입니다. 최신 CPU는 이를 위해 무올림 곱셈 명령(PCLMULQDQ 등)을 제공합니다.

## 쉽게 말하면

mod 2 다항식은 '받아올림이 없는 이진수 계산'입니다. 1 + 1 = 0이 되고 다음 자리로 넘어가지 않습니다.

## 예시

(x³ + x + 1) + (x² + x) = x³ + x² + 1(1011 XOR 0110 = 1101). (x + 1)(x + 1) = x² + 2x + 1 = x² + 1입니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/mod-2-polynomial-mod-2-%EB%8B%A4%ED%95%AD%EC%8B%9D/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20