# 동형사상 (Isomorphism)

동형사상(Isomorphism)은 같은 유형의 두 구조 사이의 매핑으로, 역매핑을 통해 되돌릴 수 있으면서 구조(연산이나 관계)를 그대로 보존하는 것입니다. 두 수학적 구조는 서로 동형사상이 존재할 경우 동형입니다. 군을 예로 들면, 군 (G, ∘)에서 (H, ∗)로 가는 사상 f가 일대일 대응(전단사)이고 모든 a, b에 대해 f(a ∘ b) = f(a) ∗ f(b)를 만족하면 f는 동형사상입니다. 동형인 두 구조는 원소의 이름과 표기만 다를 뿐, 대수적으로는 같은 구조로 취급합니다.

**두 가지 조건**

- **가역성:** 매핑이 일대일 대응이어서 역매핑으로 원래 원소로 돌아갈 수 있어야 합니다.
- **구조 보존:** 한 구조에서 두 원소를 연산한 결과는 다른 구조에서 대응하는 두 원소를 연산한 결과에 대응해야 합니다.

둘 중 하나만으로는 부족합니다. 모스 부호와 알파벳처럼 단순히 되돌릴 수 있는 대응(전단사)은 보존할 연산이 없으므로 동형사상의 예가 아닙니다.

**대표적인 예**

1. **덧셈과 곱셈:** 실수의 덧셈군 (ℝ, +)와 양의 실수의 곱셈군 (ℝ>0, ×)는 f(x) = e^x로 동형입니다. e^a+b = e^a · e^b이므로 덧셈이 곱셈으로 옮겨지고, 역매핑은 자연로그입니다.
2. **순환군:** 위수가 n인 모든 순환군은 n으로 나눈 나머지의 덧셈군 (ℤn, +)와 동형입니다. 생성원 g를 가진 순환군에서 k ↦ g^k가 동형사상이 됩니다.
3. **그래프 동형:** 두 그래프의 꼭짓점을 일대일로 대응시켰을 때 연결 관계가 그대로 유지되면 두 그래프는 동형입니다. 화학에서는 분자 구조를 그래프로 나타내, 두 분자의 구조가 같은지 판정하는 문제를 그래프 동형 문제로 다룹니다.

**준동형사상과의 차이**

구조는 보존하지만 일대일 대응이 아닐 수도 있는 사상을 준동형사상(homomorphism)이라고 합니다. 동형사상은 역매핑도 준동형사상인 특별한 준동형사상입니다. 이름이 비슷한 동형 암호(homomorphic encryption)는 ‘준동형’ 성질, 즉 암호문끼리 연산한 결과가 평문끼리 연산한 결과의 암호문이 되는 성질을 이용하는 것으로, 동형사상과는 다른 개념입니다.

**암호학에서의 의미**

- **이산 로그 문제:** 위수가 소수 q인 순환군 G = ⟨g⟩는 (ℤq, +)와 동형이며, k ↦ g^k는 쉽게 계산됩니다. 그러나 역방향, 즉 g^k에서 k를 구하는 이산 로그는 G를 어떻게 표현하느냐에 따라 계산 난이도가 크게 다릅니다. 추상적으로 동형인 군이라도 ℤq에서는 이산 로그가 쉬운 반면, 잘 고른 타원곡선 군에서는 매우 어렵습니다. 암호의 안전성은 구조 자체가 아니라 동형사상을 효율적으로 계산할 수 있는지에 달려 있습니다.
- **공격으로의 활용:** 어떤 암호 구조를 계산하기 쉬운 다른 구조로 옮기는 동형사상을 효율적으로 찾을 수 있다면, 한쪽에서 알려진 공격을 다른 쪽에 적용할 수 있습니다. 일부 약한 타원곡선이 더 쉬운 군으로의 사상 때문에 안전하지 않은 것으로 밝혀진 것이 그 예입니다.
- **영지식 증명:** 두 그래프가 동형이라는 사실을, 대응 자체를 공개하지 않고 증명하는 프로토콜은 영지식 증명을 설명하는 고전적인 예입니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/isormorphism-%EB%8F%99%ED%98%95%EC%82%AC%EC%83%81/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20