# 준동형사상 (Homomorphism)

준동형사상(homomorphism)은 같은 종류의 두 대수 구조, 예를 들어 두 군·두 환·두 벡터 공간 사이에서 연산 구조를 보존하는 함수입니다. 군 G에서 H로의 준동형사상 f는 모든 a, b에 대해 f(a·b) = f(a)·f(b)를 만족합니다. 즉 '먼저 연산하고 옮기든, 먼저 옮기고 연산하든' 결과가 같습니다.

## 자세히 알아보기

준동형사상이 일대일 대응이면 동형사상(isomorphism)이라 하고, 두 구조는 본질적으로 같습니다. 자기 자신으로의 동형사상은 자기동형사상입니다. 준동형사상은 항등원을 항등원으로, 역원을 역원으로 보냅니다.

항등원으로 가는 원소들의 집합을 핵(kernel)이라 합니다. 핵이 항등원 하나뿐이면 f는 단사입니다. 제1 동형 정리에 따르면 G/ker f는 f의 상(image)과 동형입니다. 준동형사상은 여러 원소를 하나로 합칠 수 있으므로 정보를 잃을 수 있는데, 이 '정보를 잃되 구조는 유지하는' 성질이 암호학에서 유용하게 쓰입니다.

예: 정수의 덧셈군에서 Z/nZ로 가는 x ↦ x mod n, 실수 덧셈군에서 양의 실수 곱셈군으로 가는 x ↦ e^x(동형사상), 행렬의 행렬식 det(AB) = det(A)det(B).

## 블록체인·암호화폐에서는

- 공개 키 생성: 타원곡선 암호에서 k ↦ kG는 정수 덧셈군 Z/nZ에서 곡선 점 그룹으로 가는 준동형사상입니다. (a + b)G = aG + bG이므로, 비트코인의 HD 지갑(BIP-32)이 공개 키만으로 자식 공개 키를 만들 수 있고, 슈노르 다중 서명(MuSig2)이 공개 키들에 계수를 곱해 더함으로써 하나로 합칠 수 있습니다.
- 페더슨 커밋먼트(Pedersen commitment): C = vG + rH는 금액 v에 대해 덧셈 준동형이어서, 금액을 숨긴 채 '입력 합 = 출력 합'을 확인할 수 있습니다. 모네로의 RingCT와 기밀 거래(Confidential Transactions)가 이 원리를 씁니다.
- 페어링: BLS 서명과 KZG 커밋먼트(이더리움 EIP-4844 블롭)은 e(aP, bQ) = e(P, Q)^(ab)인 쌍선형 사상을 씁니다.
- 동형 암호: 암호문끼리 연산하면 평문끼리 연산한 결과의 암호문이 되는 암호로, 이름 그대로 준동형사상 성질을 이용합니다.

## 쉽게 말하면

준동형사상은 '번역해도 계산 규칙이 깨지지 않는 번역기'입니다. 번역 전에 더하든 번역 후에 더하든 같은 답이 나옵니다.

## 예시

f(x) = x mod 3이면 f(5 + 7) = f(12) = 0이고, f(5) + f(7) = 2 + 1 = 3 ≡ 0으로 같습니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/homomorphism-%EC%A4%80%EB%8F%99%ED%98%95%EC%82%AC%EC%83%81/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20