# 푸리에 변환 (Fourier Transform)

푸리에 변환(Fourier transform)은 시간이나 공간에 따라 변하는 신호를 '어떤 주파수의 성분이 얼마나, 어떤 위상으로 들어 있는가'로 바꿔 표현하는 변환입니다. 연속 신호에는 F(ω) = ∫ f(t)e^(−iωt) dt를, 일정 간격으로 샘플링한 디지털 데이터에는 이산 푸리에 변환(DFT)을 씁니다. DFT는 주기적인 이산 시간 샘플과 주기적인 이산 주파수 샘플을 서로 대응시키며, 역변환으로 원래 신호를 완전히 되찾을 수 있습니다.

## 자세히 알아보기

푸리에 변환의 가장 중요한 성질은 합성곱 정리입니다. 시간 영역의 합성곱(필터링, 다항식 곱셈 등)이 주파수 영역에서는 단순한 곱셈이 됩니다. 그래서 복잡한 계산을 '변환 → 성분별 곱 → 역변환'으로 빠르게 처리할 수 있습니다. 또 파세발 정리에 의해 신호의 총 에너지는 두 영역에서 같습니다.

DFT의 각 출력은 모든 입력 값의 가중합이므로, 입력 하나가 바뀌면 모든 출력에 영향을 줍니다. 테리 리터는 이 '모든 입력을 모든 출력에 효율적으로 섞는' 구조, 특히 FFT의 나비 연산 패턴이 암호의 혼합(확산) 층 설계에 영감을 준다고 보았습니다. 다만 푸리에 변환은 선형 변환이므로 그 자체로 암호학적 안전성을 주지는 않으며, 비선형 요소와 함께 써야 합니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

- 암호 분석 도구: 불 함수와 S-box 분석에 쓰는 월시-하다마드 변환은 GF(2)^n 위의 푸리에 변환입니다. 선형 암호 분석에서 가장 잘 맞는 선형 근사를 찾는 것이 곧 '가장 큰 푸리에(월시) 계수'를 찾는 일입니다.
- 부채널 분석: 하드웨어 지갑의 전력·전자파 측정을 주파수 영역으로 바꿔 클럭 잡음을 거르거나, 시간 정렬이 어긋난 측정을 비교합니다.
- 다항식 연산: 유한체 버전인 수론 변환(NTT)은 영지식 증명 생성과 양자 내성 암호 ML-KEM·ML-DSA의 다항식 곱셈을 담당합니다.

## 쉽게 말하면

푸리에 변환은 섞여 있는 소리를 각 악기의 음으로 갈라내는 프리즘입니다. 다시 합치면 원래 소리가 그대로 돌아옵니다.

## 예시

1초에 3번 진동하는 사인파와 7번 진동하는 사인파를 더한 신호를 푸리에 변환하면, (양의 주파수 쪽에서) 주파수 3과 7에서만 뾰족한 값이 나타납니다.

역변환을 적용하면 두 사인파를 더한 원래 신호가 오차 없이 복원됩니다. 이산 푸리에 변환에서 n개의 입력은 n개의 주파수 성분으로 바뀌며, 정보가 늘거나 줄지 않습니다. 이 성질 덕분에 변환은 데이터를 다른 관점으로 보여 줄 뿐 숨기지는 못합니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/fourier-transform-%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90-%EB%B3%80%ED%99%98/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20