# 푸리에 급수 (Fourier Series)

푸리에 급수(Fourier series)는 주기가 T인 함수 f(t)를 기본 주파수의 정수배 주파수를 가진 사인·코사인 함수들의 합으로 전개한 것입니다. f(t) = a₀/2 + Σ [a_k cos(2πkt/T) + b_k sin(2πkt/T)] 형태이며, 복소수로는 f(t) = Σ c_k e^(2πikt/T)로 간단히 씁니다. 복잡한 주기 신호를 '어떤 주파수가 얼마만큼 들어 있는가'로 분해하는 도구입니다.

## 자세히 알아보기

계수를 구하는 열쇠는 직교성입니다. 한 주기에 걸쳐 서로 다른 주파수의 사인·코사인을 곱해 적분하면 0이 되고, 같은 주파수끼리만 0이 아닌 값이 남습니다. 그래서 f에 cos(2πkt/T)를 곱해 적분하면 다른 성분은 모두 사라지고 a_k만 남습니다. 즉 a_k = (2/T)∫ f(t) cos(2πkt/T) dt입니다. 이는 벡터를 직교 좌표축에 사영해 성분을 구하는 것과 같은 원리입니다.

충분히 매끄러운 함수는 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴합니다. 불연속점이 있으면 그 점에서 좌우 극한의 평균으로 수렴하고, 근처에서 불연속 폭의 약 9%에 해당하는 오버슈트가 남는 깁스 현상이 나타납니다. 푸리에 급수를 비주기 함수로 확장한 것이 푸리에 변환이고, 샘플링된 유한 데이터에 적용한 것이 이산 푸리에 변환(DFT)이며, 이를 빠르게 계산하는 방법이 FFT입니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

푸리에 급수 자체가 블록체인 프로토콜에 직접 쓰이지는 않지만, 그 직계 후손들은 핵심 도구입니다. '직교 기저로 분해한다'는 같은 아이디어를 유한체 위로 옮긴 수론 변환(NTT)이 영지식 증명 증명기와 양자 내성 암호(ML-KEM, ML-DSA)의 다항식 곱셈을 담당합니다. 불 함수 분석에서는 ±1 값의 직교 기저인 월시 함수로 함수를 전개하는데, 이것이 비선형도와 선형 암호 분석의 기초인 월시-하다마드 변환입니다. 또 시장 데이터에서 주기적 패턴을 찾는 스펙트럼 분석에도 쓰이지만, 가격에 안정적인 주기가 있다는 가정은 대개 성립하지 않습니다.

## 쉽게 말하면

푸리에 급수는 복잡한 반복 소리를 '도, 미, 솔이 각각 얼마나 섞였는지'로 바꿔 적는 악보입니다.

## 예시

주기 2π의 사각파(−π~0에서 −1, 0~π에서 1)는 (4/π)[sin t + sin 3t/3 + sin 5t/5 + …]로 홀수 주파수 사인만으로 전개됩니다.

이 급수를 처음 몇 항에서 끊으면 사각파의 모서리 근처에 점프 크기(2)의 약 9%만큼 튀어나온 부분(오버슈트)이 남는데, 이것이 깁스 현상입니다. 항을 늘려도 오버슈트의 높이는 줄지 않고 폭만 좁아집니다.

---
출처: https://achivx.kr/glossary/fourier-series-%ED%91%B8%EB%A6%AC%EC%97%90-%EA%B8%89%EC%88%98/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20