# 체 (Field)

체(體, field)는 덧셈·뺄셈·곱셈, 그리고 0이 아닌 원소로의 나눗셈이 모두 정의되어 있고, 그 연산들이 유리수나 실수에서처럼 결합·교환·분배 법칙을 만족하는 대수 구조입니다. 유리수 ℚ, 실수 ℝ, 복소수 ℂ가 대표적인 체이며, 원소가 유한한 체를 유한체(갈루아 체)라고 합니다. (물리학의 '장(場)', 즉 공간의 각 점에 값을 갖는 물리량도 영어로 field이지만 수학의 체와는 다른 개념입니다.)

## 자세히 알아보기

엄밀히 체 F는 두 연산 +와 ×를 가진 집합으로 다음을 만족합니다.
- (F, +)는 0을 항등원으로 하는 아벨 군입니다.
- 0을 뺀 F*는 1을 항등원으로 하는 곱셈 아벨 군입니다. 즉 0이 아닌 모든 원소는 곱셈 역원을 가집니다.
- 곱셈은 덧셈에 대해 분배법칙을 만족합니다.

정수 ℤ는 2의 곱셈 역원(1/2)이 정수가 아니므로 체가 아닌 환입니다. 반면 소수 p에 대한 Z/pZ는 체입니다. 체의 표수(characteristic)는 1을 몇 번 더해야 0이 되는지를 나타내며, 유한체 GF(p^k)의 표수는 p입니다. 체 위에서는 일차 연립방정식을 가우스 소거법으로 풀 수 있고, d차 다항식의 근은 최대 d개라는 등 익숙한 대수 규칙이 그대로 성립합니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

- 타원곡선: 비트코인·이더리움·트론의 secp256k1, 솔라나의 Ed25519는 큰 소수 p에 대한 체 GF(p) 위에서 정의됩니다. 서명과 주소 생성의 모든 계산이 체 연산입니다.
- 영지식 증명: zk-SNARK의 회로는 '스칼라 체'라 불리는 큰 소수체 위의 덧셈·곱셈 제약으로 표현됩니다. BN254, BLS12-381 곡선의 스칼라 체가 대표적이며, '체 원소'(field element)는 영지식 개발에서 가장 기본 단위입니다.
- 대칭 암호: AES는 바이트를 GF(2^8)의 원소로, AES-GCM의 인증 태그 계산은 GF(2^128)의 원소로 다룹니다.

## 쉽게 말하면

체는 '사칙연산을 마음껏 해도 그 집합을 벗어나지 않는 수의 세계'입니다.

## 예시

GF(5) = {0, 1, 2, 3, 4}에서 2 × 3 = 6 ≡ 1이므로 2와 3은 서로의 역원이고, 4 ÷ 2 = 4 × 3 = 12 ≡ 2입니다.

반면 Z/6Z는 체가 아닙니다. 2 × 3 = 6 ≡ 0이어서 2와 3에는 곱셈 역원이 없기 때문입니다. 이렇게 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 되는 원소를 영인자라고 하며, 체에는 영인자가 없습니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/field-%EC%B2%B4/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20