# 공분산 (Covariance)

공분산은 두 확률 변수 X와 Y가 각자의 평균에서 벗어날 때 같은 방향으로 움직이는 경향이 있는지(양수), 반대 방향인지(음수), 뚜렷한 선형 경향이 없는지(0에 가까움)를 나타내는 값입니다. 정의는 Cov(X,Y) = E[(X−μ_X)(Y−μ_Y)] = E[XY] − E[X]E[Y]입니다.

## 자세히 알아보기

공분산의 부호는 방향을 알려 주지만 크기는 단위에 따라 달라집니다. 가격을 원 단위로 재느냐 달러 단위로 재느냐에 따라 값이 바뀌기 때문에, 관계의 '강도'를 비교하려면 각 표준편차로 나눈 상관계수 ρ = Cov(X,Y)/(σ_X σ_Y)를 씁니다.

중요한 성질은 다음과 같습니다.
- X와 Y가 독립이면 공분산은 0입니다. 그러나 역은 성립하지 않습니다. Y = X²(X가 −1, 0, 1 중 균등)처럼 완전히 종속인데도 공분산이 0인 경우가 있습니다. 공분산은 선형 관계만 잡아냅니다.
- 코시-슈바르츠 부등식에 의해 Cov(X,Y)² ≤ Var(X)·Var(Y)이며, 등호는 Y가 X의 일차식(Y = aX + b)일 때만 성립합니다.
- Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y). 포트폴리오 위험 계산의 기본 공식입니다.

표본에서는 표본 공분산 s_XY = Σ(x_i − x̄)(y_i − ȳ)/(n−1)을 사용합니다. 여러 변수의 공분산을 모은 행렬을 공분산 행렬이라 하며, 다변량 정규분포와 주성분 분석의 핵심 재료입니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

- 시장 분석: 비트코인과 이더리움 일간 수익률의 공분산은 대체로 양수입니다. 여러 코인을 담은 포트폴리오의 분산은 각 자산 비중 w와 공분산 행렬 Σ로 wᵀΣw처럼 계산하며, 공분산이 큰 자산끼리는 분산 투자 효과가 작습니다.
- 부채널 분석: 전력·전자파 신호로 키를 추출하는 템플릿 공격은 측정 신호를 다변량 정규분포로 모델링하고, 그 공분산 행렬로 키 후보별 확률을 계산합니다. 하드웨어 지갑이 이런 공격에 대응하도록 설계되는 이유입니다.
- 난수 검증: 좋은 난수 생성기 출력은 서로 다른 위치 사이의 공분산이 0에 가까워야 합니다.

## 쉽게 말하면

공분산은 '두 값이 같이 오르고 같이 내리는 경향'을 숫자로 나타낸 것입니다. 단, 얼마나 강하게 묶였는지는 상관계수로 봐야 합니다.

## 예시

X = (1, 2, 3), Y = (2, 4, 6)이면 x̄ = 2, ȳ = 4이고 표본 공분산은 [(−1)(−2) + 0 + (1)(2)]/2 = 2입니다. Y가 X의 정확한 일차식이므로 상관계수는 1입니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/covariance-%EA%B3%B5%EB%B6%84%EC%82%B0/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20