# 표수 (Characteristic)

표수(characteristic)는 체(field)에서 곱셈 항등원 1을 반복해서 더했을 때 처음으로 0이 되는 횟수, 즉 1 + 1 + … + 1(n번) = 0을 만족하는 가장 작은 양의 정수 n입니다. 이런 n이 존재하지 않으면 표수는 0이라고 합니다.

## 자세히 알아보기

유리수체 ℚ나 실수체 ℝ에서는 1을 아무리 더해도 0이 되지 않으므로 표수가 0입니다. 반면 원소가 유한개인 유한체(갈루아 체)에서는 언젠가 반드시 0으로 돌아오며, 이때 표수는 항상 소수 p입니다. 표수가 합성수라면 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 되어 체의 조건을 깨기 때문입니다.

원소 수가 q인 유한체는 q = pⁿ 꼴일 때만 존재하며, 그 표수는 p입니다. 예를 들어 GF(2⁸)은 원소가 256개이고 표수는 2입니다. 표수 2인 체에서는 덧셈이 비트 단위 XOR과 같아 a + a = 0이 성립하고, 하드웨어 구현이 간단해집니다.

주의할 점은 '시계 산술'(mod 12)이 체가 아니라는 것입니다. 정수를 12로 나눈 나머지 환 ℤ/12ℤ에서는 3 × 4 = 0이 되므로 체가 아닙니다. 환으로서의 표수는 12이지만, 체의 표수는 0 아니면 소수만 가능합니다. 나머지 연산은 mod p(소수)일 때만 체가 됩니다.

표수는 체에서의 계산 규칙을 결정합니다. 표수 p인 체에서는 (a + b)ᵖ = aᵖ + bᵖ 같은 성질이 성립하고, p를 곱하면 모든 원소가 0이 됩니다. 이런 성질은 유한체 연산을 빠르게 구현하는 알고리즘과, 특정 체에 맞춘 공격을 분석하는 데 모두 활용됩니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

- **AES**는 표수 2인 GF(2⁸)에서 S-box와 MixColumns 연산을 수행합니다.
- **비트코인·이더리움의 secp256k1** 곡선은 소수 p = 2²⁵⁶ − 2³² − 977을 표수로 갖는 소수체 위에서 정의됩니다. 트론도 같은 곡선을 사용합니다.
- **Ed25519**(솔라나 등)는 p = 2²⁵⁵ − 19인 소수체 위의 곡선을 사용합니다.
- 표수 2인 이진체 위의 타원곡선도 있지만, 오늘날 주요 블록체인은 큰 소수 표수의 체를 사용합니다.

## 쉽게 말하면

계단을 한 칸씩 계속 올라가다 출발점으로 되돌아오는 원형 계단에서, 돌아올 때까지 밟은 칸 수가 표수입니다. 끝없이 올라가기만 하는 직선 계단이라면 표수는 0입니다.

## 예시

GF(5) = {0, 1, 2, 3, 4}에서는 1+1+1+1+1 = 5 ≡ 0 (mod 5)이므로 표수는 5입니다. GF(2)에서는 1 + 1 = 0이므로 표수는 2입니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/characteristic-%ED%8A%B9%EC%84%B1/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20