# 증강 반복 (Augmented Repetitions)

증강 반복(augmented repetitions)은 복원 추출에서 관찰된 반복을 모두 "같은 값을 가진 표본 두 개의 쌍", 즉 2-rep의 개수로 환산해 센 값입니다. 테리 리터(Terry Ritter)가 크기를 모르는 모집단의 실효 크기를 추정하려고 제안한 집계 방식으로, k번 나온 값 하나는 C(k, 2)개의 2-rep으로 셉니다.

## 자세히 알아보기

복원 추출을 계속하면 이미 나온 값이 다시 나옵니다. 정확히 두 번 나온 값은 더블(2-rep), 세 번 나온 값은 트리플(3-rep)이라고 부르고, k번 나온 값의 개수를 r[k]라고 씁니다. 이 정확 반복 수만으로 모집단을 추정하면 문제가 생깁니다. 더블이었던 값이 한 번 더 나오면 트리플이 하나 생기고 더블은 하나 줄어, 정보가 늘었는데도 더블 기반 추정치는 거꾸로 움직입니다. 또 정확 반복 수의 기댓값을 주는 이항식은 모집단 크기를 구하는 방향으로 잘 풀리지 않습니다.

증강 반복은 이 문제를 풀기 위해 모든 반복을 쌍으로 셉니다. 증강 더블 수는 ad = Σ C(k, 2) · r[k] (k ≥ 2)입니다. 2-rep은 1, 3-rep은 3, 4-rep은 6을 더합니다. 표본 s개에서 만들 수 있는 쌍은 s(s − 1)/2개이고, 크기 N인 모집단에서 균등하게 뽑으면 각 쌍이 같은 값일 확률은 1/N이므로 기댓값은 E = s(s − 1)/(2N)입니다. 이를 뒤집으면 모집단 추정식 N ≈ s(s − 1)/(2 · ad)를 얻습니다. 생일 역설과 같은 원리입니다.

이 추정은 모든 값이 같은 확률로 뽑힌다는 가정에 기댑니다. 어떤 값이 더 자주 나오면 반복이 많아져 모집단이 실제보다 작게 추정됩니다. 반복이 몇 개뿐일 때는 우연의 영향이 커서 추정치가 크게 흔들리므로, 반복이 충분히 쌓인 뒤에 해석해야 합니다.

## 블록체인·암호화폐에서는

난수 생성기나 해시 기반 식별자가 실제로 만들어 내는 값의 가짓수(실효 모집단)가 설계상 크기보다 작은지 점검하는 데 쓸 수 있습니다. 출력을 표본으로 모아 증강 더블을 세었을 때 추정 N이 기대보다 훨씬 작다면, 생성기의 상태 공간이 좁거나 출력이 치우쳐 있다는 신호입니다.

## 쉽게 말하면

호수의 물고기 수를 셀 때 잡은 물고기에 표시를 하고 놓아준 뒤 다시 잡는 방법과 비슷합니다. 표시된 물고기가 자주 다시 잡힐수록 호수가 작다는 뜻이고, 같은 물고기가 세 번 잡혔다면 "다시 만난 쌍"이 세 번 생긴 것으로 셉니다.

## 예시

표본 100개에서 더블 4개와 트리플 1개가 나왔다면 증강 더블은 4 × 1 + 1 × 3 = 7입니다. 추정 모집단은 100 × 99 ÷ (2 × 7) ≈ 707입니다.

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출처: https://achivx.kr/glossary/augmented-repetitions-%EC%A6%9D%EA%B0%95-%EB%B0%98%EB%B3%B5/ · ACHIVX 용어 사전 · 수정일 2026-10-20